Aufgrund der Definition des Inhalts (meine Definitionen sollten mit denen von hier übereinstimmen) ist ganz klar $\mu(A_1 \cup A_2) = \mu(A_1) + \mu(A_2)$. Schreibt man nun $\bigcup_{i=1}^n A_i = B_n$ ist nach Definition auch $\mu(B_n \cup B_{n+1}) = \mu(B_n) + \mu(B_{n+1})$. Man sieht daraus sofort $\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i) = \mu(\cup_{i=1}^\infty A_i)$.

Ich hab also in zwei Sätzen hier nicht nur die Behauptung gezeigt, sondern noch etwas wesentlich stärkeres, da hier ein Gleichheitszeichen anstelle des $\leq$ steht. Außerdem erfüllt das, was ich hier als Inhalt vorausgesetzt habe, nun auch automatisch die Definition eines Prämaßes bzw. Maßes (wenn die Mengenalgebra, auf der man das macht, eine $\sigma$-Algebra ist).

Kann das so stimmen? Wer sieht meinen Fehler?