Aufgrund der Definition des Inhalts (meine Definitionen sollten mit denen von hier übereinstimmen) ist ganz klar $\mu(A_1 \cup A_2) = \mu(A_1) + \mu(A_2)$. Schreibt man nun $\bigcup_{i=1}^n A_i = B_n$ ist nach Definition auch $\mu(B_n \cup B_{n+1}) = \mu(B_n) + \mu(B_{n+1})$. Man sieht daraus sofort $\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i) = \mu(\cup_{i=1}^\infty A_i)$.

Ich hab also in zwei Sätzen hier nicht nur die Behauptung gezeigt, sondern noch etwas wesentlich stärkeres, da hier ein Gleichheitszeichen anstelle des $\leq$ steht. Außerdem erfüllt das, was ich hier als Inhalt vorausgesetzt habe, nun auch automatisch die Definition eines Prämaßes bzw. Maßes (wenn die Mengenalgebra, auf der man das macht, eine $\sigma$-Algebra ist).

Kann das so stimmen? Wer sieht meinen Fehler?

Zunächst ist der naive Betrachter ja versucht zu denken “Oh, es ist unendlich, also muss der Widerstand null werden.” Wer dann etwas länger nachdenkt, kommt aber doch sehr schnell darauf, dass es eine untere Schranke für den Widerstand geben muss. Das beruht auf folgender Vorstellung: Die genaue Position der beiden Knoten, zwischen denen ich den Widerstand bestimmen will, vernachlässige ich zunächst. Dann modelliere ich nicht das gesamte unendliche Gitter, sondern lediglich die vier Verbindungen von Knoten A zu seinen Nachbarn und die vier Verbindungen von Knoten B zu seinen Nachbarn.

Nun sei noch angenommen, dass alle möglichen Verbindungen der Nachbarn von A zu den Nachbarn von B alle einen Widerstand von echt null haben. Man sieht nun schon, dass das Problem sich deutlich vereinfacht wurde, aber auch der Widerstand dieser Anordnung kleiner sein muss, als der des Gitters, um das es geht. Man kann so also eine untere Schranke für den Widerstand finden:

Man macht sich schnell klar, dass es von den vier Nachbarn des einen zu den vier Nachbarn des anderen insgesamt 16 Wege gibt. Jeder Nachbar hat dabei eine Verbindung zu den vier Nachbarn des jeweils anderen Knotens. Das für alle vier ergibt 16. Nächste Vereinfachung: Man betrachtet nun mal diese Wege alle unabhängig voneinander, dann gibt es auch genau 16 Wege von A zu B. Da jedes Wegstück einen Widerstand von 1 Ohm hat, ist somit der Widerstand jedes einzelnen Weges mindestens 2 Ohm. Die Parallelschaltung von 16 Widerständen mit jeweils 2 Ohm ergibt einen Gesamtwiderstand von 1/8 Ohm.

In einem nächsten Schritt modelliert man nun nicht nur die Knoten und ihre Nachbarn, sondern auch deren Nachbarn. Damit hat dann jeder Nachbar drei weitere Nachbarn. Von denen gibt es neun Wege zu jedem der Nachbarn des anderen Knoten. Diese Wege haben auch wieder einen Mindestwiderstand von 2 Ohm, also in der Parallelschaltung 2/9 Ohm. Jeder der 16 möglichen Wege von oben hat nun also nicht mehr den Widerstand 2 Ohm, sondern mindestens (2 + 2/9) Ohm. Die untere Schranke für den Gesamtwiderstand ist damit schon bei 5/36 Ohm.

So könnte man nun noch eine Weile weitermachen, müsste aber anfangen zu berücksichtigen, dass die einzelnen Wege in der Realität nicht unabhängig sind. (Man kommt dann auch bei recht nah aneinander liegenden Knoten dann zu dem Problem, dass viele Wege garnicht mehr realisierbar sind.) Auch fehlt mir das mathematische Rüstzeug, um den ganzen Kram vernünftig in Formeln zu verwandeln…

Daher nun eine Frage an die, die es wirklich drauf haben: Sind die Überlegungen soweit bis zu diesem Punkt richtig?

Ich weiß außerdem, dass man sich genau das selbe auch für den dreidimensionalen Fall und in noch höheren Dimensionen denken kann, aber wie sieht es im eindimensionalen aus? Nehmen wir mal zwei Knoten, zwischen denen echt unendlich viele Wege vorhanden sind. Jeder einzelne Weg hat einen endlichen Widerstand, aber es sind eben unendlich viele. Jetzt müsste der Widerstand doch gegen null gehen?

Aber damit, das Keilprodukt-Zeichen konsequent “wedge” zu nennen, hat er anscheinend kein Problem …

Die Scheinausbeute ist eher mager: 2/4. Der erste Schein war der des nichtphysikalischen Nebenfachs, Chemie, im ersten Semester. Grade dieses Fach, an dem mir Frau Stiehl in der Oberstufe sehr effizient den Spaß verdorben hat, war der wohl einfachste Teil. Fast alle Inhalte der Vorlesung kannte ich schon, die meisten Arbeitsmethoden des Laborpraktikums ebenfalls. Ein echter Spaziergang. Der zweite Schein ist Experimentalphysik I/II. Nicht ganz so einfach, aber auch nicht zu schwer. Genau richtig. Es gibt einen Schein für das gesamte erste Jahr und man muss neben den relativ simplen Übungsaufgaben eine Klausur bestehen, für die man 3 (eventuell gar 4) Anläufe nehmen kann. Ich habe natürlich direkt den ersten bestanden – ein Komillitone von mir ist jetzt zum dritten Mal durchgefallen. Dabei werden die Klausuren angeblich immer einfacher …

Es gibt natürlich auch weniger erfreuliches. Das Unheil hat einen Namen: Mathe. Im ersten Semester war es im wesentlichen der Schock namens Analysis I, der den Schein verhindert hat. Im zweiten Semester ist es der noch größere Schreck namens Analysis II und die Tatsache, dass ich ca. 2 Tage vor der Klausur in Differentialgleichungen doch noch erfahren habe, dass ich dafür zugelassen bin. Da ich eben diese Zulassung in Analysis aber nicht habe, ist es relativ schwachsinnig, die Klausur mit zu schreiben. Wozu?

Das Scheinsystem ist bei uns nämlich, um es nicht beschissen zu nennen, ein wenig seltsam: In dem Fach, was man studiert, gibt es nur einen Schein für das gesamte erste Jahr. Die Vorraussetzungen dafür sind, wie oben bereits geschrieben, eher lächerlich. Dann gibt es Mathe. Da gibt es jedes Semester einen Schein. Die Vorraussetzungen für diesen Schein sind etwas krasser: Man hat zwei Vorlesungen und muss in beiden Vorlesungen eine bestimmte Prozentzahl der Übungsaufgaben schaffen (je nach Laune des Profs) und wird dann vielleicht zur jeweiligen Klausur zugelassen. Für den Schein muss man beide Klausuren bestehen. Schafft man es in einer nicht und schreibt dafür in der anderen eine 1: Kein Schein. Schrammt man in einer der beiden Vorlesungen knapp am Übungs-Ziel vorbei, hätte diese Klausur aber spielend bestanden: Kein Schein. Entsprechend niedrig ist natürlich die Motivation in der einen Disziplin, wenn man in der anderen keinerlei Licht am Ende des Tunnels der Unwissenheit erblicken kann …

Immerhin braucht man von vier möglichen Scheinen im Grundstudium nur zwei. Noch ist also nicht alles verloren, aber es wird schon enger. Nächstes Semester kommt schließlich auch noch die theoretische Physik dazu und ein neuer Exphysik-Schein steht an.

Immerhin, einige fundamentale, hochwissenschaftliche Erkenntnisse hat mir das erste Jahr gebracht: Das Stromnetz hier ist verteufelt instabil. Etwa alle 2-3 Monate gibts mal eine Stromschwankung, die den PC erlegt. In Schortens erreicht man locker jahrelange Uptimes – ohne USV! Bad schrubben ist eine vergleichsweise entspannte Angelegenheit. Der Herd mit festgebrannten Fettspritzern ist wesentlich schlimmer. Nachbarn sind asoziale Schweine in jeglicher Hinsicht. Vermieter halten ihre Versprechen nicht ein. Der Großstadt-Autoverkehr ist geprägt von Egoismus. Ist man freundlich und lässt jemanden vor, der sonst nie eine Chance hätte, in absehbarer Zeit auf die Hauptstraße zu fahren, wird das sofort von hinten mit einem Hupkonzert kommentiert (ca. 30 Meter weiter vorne ist eine rote Ampel und da muss man natürlich ganz schnell hin). Auf dem platten Land wäre das nicht passiert. Einmal Nerd, immer Nerd – keine Besserung in der Hinsicht.