Es geht um Aufgabe 3 von diesem Übungsblatt.
Aufgrund der Definition des Inhalts (meine Definitionen sollten mit denen von hier übereinstimmen) ist ganz klar $\mu(A_1 \cup A_2) = \mu(A_1) + \mu(A_2)$. Schreibt man nun $\bigcup_{i=1}^n A_i = B_n$ ist nach Definition auch $\mu(B_n \cup B_{n+1}) = \mu(B_n) + \mu(B_{n+1})$. Man sieht daraus sofort $\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i) = \mu(\cup_{i=1}^\infty A_i)$.
Ich hab also in zwei Sätzen hier nicht nur die Behauptung gezeigt, sondern noch etwas wesentlich stärkeres, da hier ein Gleichheitszeichen anstelle des $\leq$ steht. Außerdem erfüllt das, was ich hier als Inhalt vorausgesetzt habe, nun auch automatisch die Definition eines Prämaßes bzw. Maßes (wenn die Mengenalgebra, auf der man das macht, eine $\sigma$-Algebra ist).
Kann das so stimmen? Wer sieht meinen Fehler?
Tags: maßtheorie, mathe, uni
Die Folgerung, dass $\mu(B_n \cup B_{n+1}) = \mu(B_n) + \mu(B_{n+1})$ gelten soll stimmt imho nicht, weil die Eigenschaft der $\sigma$-Additivität nur für disjunkte Mengen gilt und $B_n$ und $B_{n+1}$ sind offensichtlich i.A. nicht disjunkt.
Aber zu dem Übungsblatt: Wie ist denn $\sum A_n$ definiert? Mir ist die Notation nicht geläufig. Ich hab nur im Kopf $\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \leq \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$.
Hmm, ich glaube, da hat sich ein Fehler bei mir eingeschlichen: Ich meine eigentlich $\mu(B_n \cup A_{n+1}) = \mu(B_n) + \mu(A_{n+1})$. Der Sinn soll ja sein, die ersten n Mengen in einer Menge zu vereinigen und die dann mit der n+1ten Menge zu Vereinigen bzw. ihr Maß mit derem Maß zu addieren. Das wäre dann ja eine endliche Addition/Vereinigung und auch disjunkt.
$\sum A_n$ ist lediglich eine meiner Meinung nach unsinnige Notation unseres Profs für $\bigcup A_n$ wenn die A_n alle disjunkt sind.