Sei X ein metrischer Raum. Eine offene Überdeckung von X ist eine Familie von Teilmengen (U_i) mit i Element I (I ist eine Indexmenge), sodass:
- U_i ist eine offene Teilmenge von X für alle i Element I.
- Die Vereinigung über alle U_i mit i Element I ist gleich X.X ist kompakt genau dann wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung (d.h. es existiert eine endliche Anzahl i_1, …, i_n mit n Element N) besitzt mit X = U_i_1 vereinigt mit … bis U_i_n.
Ist das anschaulich? Also mal im Klartext: Man hat einen Raum, also z.B. eine Ebene oder den dreidimensionalen Raum. Wenn man den nun mit offenen Mengen (lies: Teilbereiche) füllt, die sich gegenseitig überlappen, nennt man das eine offene Überdeckung, wenn jeder Punkt in diesem Raum in mindestens einer dieser Mengen liegt. Kompakt wird dieser Raum dann, wenn die kleinstmögliche Anzahl dieser Mengen nicht unendlich, sondern abzählbar ist.
Mit ein bisschen räumlichem Vorstellungsvermögen kann man sich das vorstellen. Ich kann das zumindest. Mein Analysis-Professor ist da anderer Meinung:
Sie stimmen mir sicherlich zu, dass dieses Beispiel jetzt sehr abstrakt und nicht sehr anschaulich ist. Also machen wir jetzt mal eine andere Definition, die besser zu verstehen ist …
Noch einfacher? Toll!
X heißt folgenkompakt genau dann wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge …. *fasel*
*ARGH* Kopf -> Tisch
Halt Fachidioten. ;-)
ja .. und das ach so simple lemma haut dann wieder rein .. ;)
das kenn ich doch irgendwoher …
abzählbar != endlich, die Menge der natürlichen Zahlen beispielsweise ist abzählbar, aber sicher nicht endlich. (die Menge der reellen Zahlen hingegen ist nicht abzählbar).
wollte ich nur mal gesagt haben *klugscheiss* :P
oder genauer hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbarkeit
sonst gebe ich dir aber recht, diese Definition verstehe ich bis heute nicht ganz…am Ende ist eh wieder alles Schema F und du kannst einfach davon ausgehen, dass das Intervall auf dem du rechnen sollst den Anforderungen genügt xD
du erwartest doch nicht, dass ich das lese? ;-)
creeper: Ich wusste, dass jemand drauf rumhackt… ich meinte das “abzählbar” jetzt in dem Sinne, wie es ein “normaler Mensch” verstehen würde. Ich kenne natürlich den Unterschied zwischen endlich, abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich und überhaupt… Man kann jedenfalls, wenn ich das richtig verstanden habe, beispielsweise den gesamten R² mit offenen Mengen überdecken, die alle eine gewisse Größe haben. Das müssen dann unendlich viele sein, aber abzählbar ist das dann trotzdem.
Wenn endlich viele Mengen ausreichen, ist der Raum kompakt. Und das ist der R² ja nunmal nicht…
da ist halt der unterschied zwischen “normalem Mensch” und Mathematiker :P
Und ich wollte es mal für normale Menschen erklären.