Ich soll als Übungsaufgabe ausrechnen, wie stark die Reibung zwischen Fußboden und Leiter sein muss, wenn man eine Leiter mit einem bestimmten Winkel an eine Wand lehnt. (\alpha sei in diesem Fall der Winkel zwischen Leiter und Fußboden.) Nachdem sich ein Haufen Zeug wegkürzen lässt, komme ich dabei auf folgende Bedingung für den Reibungskoeffizienten \mu, damit die Leiter stehen bleibt und nicht zu rutschen beginnt:
\mu > \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
Oder für normale Menschen:
Das sieht ja schonmal recht nett aus. Plottet man cos x / sin x im Bereich [0,π/2)], sieht man eine Kurve, die aus dem Unendlichen kommend nach und nach etwas flacher wird und dann bei π/2 die y-Achse schneidet:
Dies entspricht ja auch den Erfahrungen aus der Realität: Je steiler man eine Leiter an eine Wand lehnt, desto stabiler steht sie. Stellt man sie zu flach hin, rutscht sie weg. Stellt man sie exakt senkrecht, hat man eher das Problem, dass sie oben von der Wand wegkippt, aber ganz sicher wird sie nicht unten anfangen, zu rutschen.
Der interessante Teil versteckt sich erst im zweiten Teil der Aufgabe: Ein Mann klettert die Leiter hinauf. Was passiert? Meine Antwort: Nichts. Alles bleibt, wie es ist. Logisch oder nicht? Ich denke, ja:
Das ist eine Frage des Drehmoments. Vereinfacht erklärt: Verantwortlich dafür, dass die Leiter rutscht, ist eine Kraft, die am oberen Ende der Leiter angreift, die die Leiter in die horizontale Lage drehen will. Diese Kraft kann ein bestimmtes Drehmoment ausüben, abhängig vom Winkel, mit dem die Leiter an der Wand lehnt und abhängig von der Lage des Schwerpunktes. Je weiter oben der Schwerpunkt liegt, desto stärker ist diese Kraft, aber desto geringer ist auch die Entfernung vom Schwerpunkt (geringe Entfernung bei gleicher Kraft => kleines Drehmoment). Auf der anderen Seite hat man eine Reibungskraft, die ebenfalls ein vom Winkel und von der Stärke der Kraft abhängiges Drehmoment ausüben kann. Je weiter unten der Schwerpunkt liegt, desto stärker ist auch die Kraft, aber desto geringer auch die Entfernung zum Schwerpunkt. Schreit doch gradezu danach, als ob sich da was gegenseitig ausgleicht…
Der Mann, der auf die Leiter steigt, tut ja nichts anderes, als den Schwerpunkt zu verlagern. Die Masse ist in dem Fall egal, die kürzt sich so oder so raus.
Hat jemand eine bessere Idee oder zumindest irgendwas an meiner Theorie auszusetzen? Ich bin mir nicht sicher und hab das komische Gefühl, dass meine These wirklich stimmen könnte… ;)
