Amish Geeks

Ich glaube, xkcd ist es tatsächlich gelungen, mich zu “snipen”. Das Problem aus dem Comic von letzter Woche lässt mich einfach nicht los. Ich kenne mittlerweile die Lösung (Es waren glaube ich (4/π – 1/2) Ohm.), aber der Weg dahin ist mir nach wie vor verschlossen. Ich habe lediglich einige Ideen:

Zunächst ist der naive Betrachter ja versucht zu denken “Oh, es ist unendlich, also muss der Widerstand null werden.” Wer dann etwas länger nachdenkt, kommt aber doch sehr schnell darauf, dass es eine untere Schranke für den Widerstand geben muss. Das beruht auf folgender Vorstellung: Die genaue Position der beiden Knoten, zwischen denen ich den Widerstand bestimmen will, vernachlässige ich zunächst. Dann modelliere ich nicht das gesamte unendliche Gitter, sondern lediglich die vier Verbindungen von Knoten A zu seinen Nachbarn und die vier Verbindungen von Knoten B zu seinen Nachbarn.

Nun sei noch angenommen, dass alle möglichen Verbindungen der Nachbarn von A zu den Nachbarn von B alle einen Widerstand von echt null haben. Man sieht nun schon, dass das Problem sich deutlich vereinfacht wurde, aber auch der Widerstand dieser Anordnung kleiner sein muss, als der des Gitters, um das es geht. Man kann so also eine untere Schranke für den Widerstand finden:

Man macht sich schnell klar, dass es von den vier Nachbarn des einen zu den vier Nachbarn des anderen insgesamt 16 Wege gibt. Jeder Nachbar hat dabei eine Verbindung zu den vier Nachbarn des jeweils anderen Knotens. Das für alle vier ergibt 16. Nächste Vereinfachung: Man betrachtet nun mal diese Wege alle unabhängig voneinander, dann gibt es auch genau 16 Wege von A zu B. Da jedes Wegstück einen Widerstand von 1 Ohm hat, ist somit der Widerstand jedes einzelnen Weges mindestens 2 Ohm. Die Parallelschaltung von 16 Widerständen mit jeweils 2 Ohm ergibt einen Gesamtwiderstand von 1/8 Ohm.

In einem nächsten Schritt modelliert man nun nicht nur die Knoten und ihre Nachbarn, sondern auch deren Nachbarn. Damit hat dann jeder Nachbar drei weitere Nachbarn. Von denen gibt es neun Wege zu jedem der Nachbarn des anderen Knoten. Diese Wege haben auch wieder einen Mindestwiderstand von 2 Ohm, also in der Parallelschaltung 2/9 Ohm. Jeder der 16 möglichen Wege von oben hat nun also nicht mehr den Widerstand 2 Ohm, sondern mindestens (2 + 2/9) Ohm. Die untere Schranke für den Gesamtwiderstand ist damit schon bei 5/36 Ohm.

So könnte man nun noch eine Weile weitermachen, müsste aber anfangen zu berücksichtigen, dass die einzelnen Wege in der Realität nicht unabhängig sind. (Man kommt dann auch bei recht nah aneinander liegenden Knoten dann zu dem Problem, dass viele Wege garnicht mehr realisierbar sind.) Auch fehlt mir das mathematische Rüstzeug, um den ganzen Kram vernünftig in Formeln zu verwandeln…

Daher nun eine Frage an die, die es wirklich drauf haben: Sind die Überlegungen soweit bis zu diesem Punkt richtig?

Ich weiß außerdem, dass man sich genau das selbe auch für den dreidimensionalen Fall und in noch höheren Dimensionen denken kann, aber wie sieht es im eindimensionalen aus? Nehmen wir mal zwei Knoten, zwischen denen echt unendlich viele Wege vorhanden sind. Jeder einzelne Weg hat einen endlichen Widerstand, aber es sind eben unendlich viele. Jetzt müsste der Widerstand doch gegen null gehen?